P,Q는 포물선 위의 서로 다른 점이다. 선분 PQ의 중점 M도 이 포물선 위에 있는가?
따라서 M은 포물선 위에 없다. 같은 y좌표를 가진 포물선 위 점보다 x좌표가 더 크다. 두 점을 잇는 선분과 곡선 자체를 구별해야 한다.
두 끝점의 식을 각각 만족한다는 사실만으로 좌표를 평균한 점도 같은 이차식을 만족한다고 할 수 없다. 평균을 먼저 내어 제곱한 값과 제곱한 뒤 평균한 값이 다르며, 위 차가 정확히 그 차이를 보여 준다.
교사는 두 끝점이 곡선 위인지와 중점이 곡선 위인지를 대입으로 따로 확인한다. t=1,u=−1이면 P=(1,2),Q=(1,−2)이고 M=(1,0)이다. y=0인 포물선 점은 (0,0)이므로 이 중점은 다르다.
한 예의 반례만으로도 주장이 틀린다는 결론은 낼 수 있다. 일반식에서는 더 강하게 서로 다른 두 점이라면 언제나 중점이 곡선 밖임을 확인했다. t=u가 되면 차가0이지만 두 점이 같은 경우라 처음 전제에서 제외된다.
학생 답에 “포물선 안쪽” 같은 그림의 인상만 남기지 않는다. 여기서 확인한 위치는 같은 y에서 x가 더 크다는 뜻이다. 곡선의 오른쪽·왼쪽을 말할 때 비교한 좌표를 함께 적는다.
그림에는 중점을 찍되 곡선에 억지로 맞추지 않는다. 선분을 그리는 과정이 곡선을 만드는 과정과 같은지 검토하는 짧은 문항으로 사용할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.