문자 하나로 나타낸 공간의 점들이 모두 직선 위에 있을까

P_t=(t,t^2,0),\qquad t\in\mathbb R.

“점의 위치가 실수 t 하나로 정해지므로 이 점들은 한 직선이다.” 이 설명을 검토하라.

t=−1,0,1을 넣으면 (−1,1,0),(0,0,0),(1,1,0)이다. 양 끝 두 점을 지나는 직선은 y=1,z=0이다. 가운데 점은 그 직선 위에 있지 않다. 따라서 전체 점들이 한 직선이라는 주장은 틀린다.

좌표에서 t를 없애면

y=x^2,\qquad z=0.

이다. xy평면에 놓인 포물선의 점들이다. 어떤 실수 x를 택해도 t=x로 원래 점을 만들 수 있으므로 이 두 조건은 가능한 점들을 빠짐없이 나타낸다.

직선의 벡터방정식에서는 고정된 한 점에 고정된 방향벡터의 실수 배를 더한다. 문자 하나를 쓴다는 형식만 같은 것으로는 충분하지 않다. 위 점들은 t가 달라질 때 가로·세로 좌표의 변화 비가 일정하지 않다.

P₀에서 P₁로 향하는 벡터는 (1,1,0)이고, P₁에서 P₂로 향하는 벡터는 (1,3,0)이다. 두 벡터는 평행하지 않다. 같은 간격의 t 변화에서 이동한 방향도 바뀐다.

z=0만 남기면 포물선보다 훨씬 넓은 평면을 답으로 쓰게 된다. y=x²도 동시에 유지해야 한다. t를 없애는 과정에서 좌표들 사이의 관계를 하나 지웠는지 확인한다.

문항에서는 t를 시간이라고 가정하지 않는다. 속도나 운동 법칙을 새로 넣지 않아도 세 점의 좌표만으로 직선 주장을 반박할 수 있다. 한 점을 정하는 수의 개수와 그 점들이 이루는 도형을 같은 정보로 읽지 않는다.