원점까지 거리를 모두 보존하면 두 점 사이 거리도 보존할까

좌표를 다음 규칙으로 바꾼다.

모든 점 P에서 OP=OT(P)이므로 모든 두 점 사이 거리도 보존한다는 설명을 검토하라.

원점까지의 거리는 실제로 보존된다. |x|²+y²=x²+y²이므로 좌표 부호를 바꾸어도 원점 기준 제곱 거리는 같다.

하지만 T(A)=T(B)=(1,1)이다. 원래 AB=2이고 변환 뒤 두 점 사이 거리는 0이다. 따라서 모든 두 점 사이의 거리가 같다는 결론은 틀린다.

원래 두 방향은 직각이지만 변환 뒤 같은 방향이다. 각 역시 보존되지 않는다.

기준점을 하나 고정한 조건

원점을 한 끝점으로 고정한 거리만 검사했다. 서로 다른 두 끝점의 상대적인 위치에 관한 정보를 모두 얻은 것이 아니다. 그림의 왼쪽과 오른쪽 점을 같은 쪽에 놓는 규칙은 서로 다른 점을 겹치게 할 수 있다.

모든 점의 x좌표 부호를 일괄 바꾸는 S(x,y)=(−x,y)와 비교한다. 이 규칙에서는 두 점의 x좌표 차도 부호만 바뀌어 거리의 제곱이 그대로다. 절댓값을 붙이는 규칙과 부호를 모두 바꾸는 규칙을 같은 조작으로 읽지 않는다.

채점에서는 원점까지 거리의 계산은 맞다고 남긴다. 수정할 부분은 그 한 기준점의 결과를 모든 두 점에 확대하는 결론이다. 거리나 각을 보존한다고 쓸 때 어떤 점들에 대한 조건인지 문장에 함께 적는다.

A와 B는 서로 다른 원래 점이고 두 이미지의 겹침은 계산 결과다. 변환 전부터 같은 점이었다고 처리하면 반례의 조건을 바꾼다. 두 점의 이름과 원래 좌표도 함께 표시한다.

출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.