다음 두 입체는 모든 꼭짓점이 원점 중심 반지름1인 구 위에 있다.
A: 꼭짓점 (±1/√3,±1/√3,±1/√3)인 정육면체.
B: 꼭짓점 (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)인 여덟 삼각형 면의 입체.
각 입체의 모든 면에 접하는 원점 중심 구의 반지름과 두 입체의 부피를 비교하라.
A의 면은 x=±1/√3 등이고 원점까지의 거리는1/√3이다. B의 면은 ±x±y±z=1이고 원점까지의 거리 역시1/√3이다. 수선의 발은 각 면 안에 있으므로 두 구가 실제 면에 접한다.
A의 한 모서리는2/√3이므로 부피는 그 세제곱이다. B는 z=0의 정사각형을 밑면으로 하는 두 사각뿔로 나눈다. 밑면 대각선 길이가 각각2라 넓이는2이고, 각 높이는1이다. 부피는2×(1/3)×2×1=4/3이다.
두 구의 반지름 비가 같은 사실만으로 입체의 부피나 모양이 같아지지는 않는다. 면의 수와 공간을 채우는 방식이 다르기 때문이다. 같은 수치가 표현하는 정보가 어디까지인지 확인하는 문항이다.
교사는 꼭짓점 좌표를 먼저 제시해 외국 도형 명칭을 외울 필요 없이 계산하게 한다. 접하는 구의 반지름을 확인한 학생에게 부피까지 같은지 추가로 물으면, 하나의 비율에서 다른 성질을 단정한 답을 찾을 수 있다.
부피의 단위가 같다는 전제도 유지한다. 좌표의 한 단위를 두 그림에서 다르게 정하면 같은 반지름1이라는 표현만으로 실제 크기를 비교할 수 없다.
출처·착안: だいばっち, 「プラトン立体 3Dビジュアライザーで見る基礎情報～黄金比との関係」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.