a는 모든 실수다. J를 최소로 만드는 a의 조건을 구하고, w(x)=2x인 경우도 따로 검산하라. 마지막 예의 w(0)=0은 허용한다.
0<a<1에서 적분을 a로 나누면 J′(a)=2∫₀ᵃw−∫₀¹w다. 양쪽 구간의 양이 같을 때만0이다. 누적 적분은 엄격히 증가하므로 그런 a는 내부에서 하나다. a≤0에서는 J가 감소하고 a≥1에서는 증가하여 바깥 후보는 없다.
w=2x이면 내부 누적 양은 a²이고 전체는1이어서 a=1/√2다. 한편 ∫₀¹xw=2/3이므로 가중한 평균 위치와 다르다. w가0인 점이 끝의 한 점뿐이므로 이 예의 누적 적분도 엄격히 증가한다.
최소를 만드는 대표 값을 예상할 때 평균 공식을 먼저 대입하지 않는다. 제곱 거리인지 절댓값 거리인지가 미분 뒤 남는 조건을 바꾼다. 답안에는 양쪽 누적 양의 같음을 실제로 확인한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.