첫째 직선은 e^x의0에서의 접선이고 둘째 직선은 lnu의1에서의 접선이다. 접선식은 원래 함수값보다 항상 작다는 설명을 두 경우에 적용해 보자.
H(x)=e^x−1−x의 도함수는 e^x−1이다.0의 왼쪽에서는 음수, 오른쪽에서는 양수이므로 H의 최솟값은 H(0)=0이다. 따라서 e^x≥1+x이며 등호는 x=0에서만 성립한다.
K(u)=u−1−lnu의 도함수는1−1/u이다.1의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수여서 K(1)=0이 최솟값이다. 따라서 lnu≤u−1이며 등호는 u=1에서만 성립한다.
같은 접선 근사지만 지수함수에서는 직선이 아래, 로그함수에서는 위에 있다. 가까운 입력의 근사라는 말만으로 어느 쪽의 경계인지 정할 수 없다.
두 접점의 값과 기울기를 확인한 뒤 차 함수의 증가·감소 표를 각각 적는다. 근사의 정확성, 부등식의 방향, 등호가 성립하는 입력을 서로 다른 정보로 설명한다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.