정육면체 0≤x,y,z≤1을 평면 x+y+z=3/2로 자른다. 좌표축과 만나는(3/2,0,0),(0,3/2,0),(0,0,3/2)를 이어 단면이 삼각형이라고 한 답안을 검토하라.
이 세 점은 정육면체 밖에 있어 단면의 꼭짓점이 아니다. 정육면체의 모서리에서 두 좌표를0 또는1로 고정하고 나머지 좌표를 구한다.
유효한 교점은 위의 여섯 개다. 두 고정 좌표의 합이0이면 나머지 좌표3/2가 범위 밖이고, 합이2이면−1/2가 범위 밖이다. 합이1인 모서리에서만1/2가 가능하다.
위 순서로 연결하면 각 변 길이가1/√2인 육각형이다. 중심 G=(1/2,1/2,1/2)에서 여섯 꼭짓점까지의 거리도1/√2이고 이웃한 두 방향의 내적은1/4다. 그 사이 각은60도여서 정육각형임을 확인할 수 있다.
면마다 자취는 직선이므로 이웃한 모서리 교점을 이은 선분이 실제 단면의 변이다. 축과의 교점은 무한히 넓은 평면의 정보를 주며, 정육면체에 붙은 좌표 범위는 단면의 정보를 정한다.
교사는 평면의 방정식을 구한 단계와 입체 안에서 남는 부분을 고른 단계를 분리해서 확인한다. 평면식이 정확해도 좌표 범위를 버리면 단면이 달라진다. 모서리 교점을 찾을 때 범위 밖 후보를 표에서 지우는 검사가 필요하다.
여섯 교점을 찾은 뒤 아무 순서로 연결하면 선분이 교차할 수 있다. 같은 정육면체 면에 놓인 두 교점을 이웃하도록 연결해야 실제 단면의 변이 된다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.