부분적분으로 묶인 두 적분의 합은 알아도 각각은 모를 수 있다

f,g와 그 도함수는 [0,1]에서 연속이다. $I=\int_0^1 f\prime(x)g(x)\,dx$, $J=\int_0^1 f(x)g\prime(x)\,dx$라 할 때 I+J와 I 각각을 구할 수 있는지 판단하라.

곱의 미분을 적분하면 I+J=[fg]_0^1=1이다. 이 합을 알았다는 이유로 I=J=1/2라고 나누어서는 안 된다.

f=g=x에서는 I=J=1/2다. 하지만 f=x²,g=x에서는 I=∫_0^1 2x²dx=2/3이고 J=∫_0^1 x²dx=1/3이다. 두 예는 모든 끝값 조건을 만족한다.

부분적분법의 식 I=1−J는 I를 구한 최종 수치가 아니라 두 미지값의 관계다. 같은 식을 방향만 바꾸어 다시 쓰면 독립된 두 번째 방정식이 생기지 않는다.

학생에게 실제 두 함수 예를 넣어 조건을 검산하게 한다. 관계식 하나와 두 미지값을 각각 정하는 정보가 다른지 묻는 채점 문항이다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.