Q에서 선분 AB에 가장 가까운 점을 구하라. “x축에 내린 수선의 발 (3,0,0), 거리4”라는 답을 검토하라.
선분 위 점은 P=(2t,0,0),0≤t≤1로 쓴다. 거리의 제곱은
주어진 범위에서는 3−2t가1 이상이므로 제곱은1 이상이다. t=1에서 그 값이1이 되어 가장 가까운 점은 B, 거리는√17이다.
수선의 발 (3,0,0)은 직선 AB 위에 있지만 선분 AB 위에는 없다. 이 점에 해당하는 t는3/2라서 범위 밖이다. 직선 전체에서 구한 최솟값4를 선분의 최솟값으로 그대로 옮길 수 없다.
교사는 거리식 옆에 점이 움직이는 범위를 함께 쓰게 한다. 거리식 자체는 맞아도 최소가 되는 값이 허용되는지 확인하지 않으면 답이 틀린다. 식의 계산과 선분에 속하는 조건을 따로 채점할 수 있다.
그림에서 선분의 두 끝을 표시하고 수선의 발을 바깥에 놓는다. Q에서 B까지의 길이는 직선까지의 길이4보다 길다. 직선 위 허용 점을 줄였으므로 최솟값이 더 작아지지는 않는다는 점도 확인한다.
추가로 Q를 (1,4,0)으로 옮기면 수선의 발 (1,0,0)이 선분 안에 있다. 그때는 거리4가 맞다. 공식의 옳고 그름만 묻지 않고 수선의 발이 허용 범위 안에 있는지로 두 경우를 구별한다.
선분을 직선으로 바꾼 학생에게는 무엇을 더 허용했는지 문장으로 설명하게 한다. 끝점은 제외하지 않았으므로 B도 정답 후보에 들어간다.
출처·착안: あぶらげ, 「TDで勉強する数学」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.