로그의 진수는 상수지만 밑이 변수이면 미분값은 0이 아니다

F(x)=\log_x e\qquad(x>0,\ x\ne1).

진수가 e라는 상수이므로 F′(x)=0이라는 답을 검토한다. 변수가 진수가 아니라 밑에 들어간 경우이다.

밑 변환공식으로 F(x)=1/lnx다. ln e=1을 사용했으며, 분모가0이 되는 x=1은 원래 로그의 밑 조건과도 맞지 않는다.

미분하면 다음과 같다.

F'(x)=-\frac{1}{x(\ln x)^2}.

특히 x=e에서 F(e)=1이지만 F′(e)=−1/e다. 함수의 한 점 값1을 상수함수로 바꾸어 미분한 것은 아니다.

log_a x에서 a가 상수인 공식과 log_x e를 나란히 쓰고 변수에 색을 표시한다. 변수가 있는 자리가 달라지면 같은 모양의 로그 기호라도 미분할 함수가 달라진다. 정의역 확인, 밑 변환, 미분의 순서로 설명하면 빠진 변화를 구체적으로 찾을 수 있다.