P는 계수가 모두 실수인 다항식이다. 가능한 P를 모두 구하라. 미분한 식의 제곱과 원래 식의 차수를 비교하는 문제다.
P가 상수 c이면 0=4c에서 P=0이다. 차수가 d≥1이면 왼쪽 차수는 2d−2, 오른쪽은 d이므로 d=2다. P=ax²+bx+c를 넣어 계수를 비교한다.
(2ax+b)²=4ax²+4bx+4c에서 a²=a다. 이차식이므로 a≠0이고 a=1이다. 상수항에서 b²=4c를 얻는다.
찾은 식의 도함수를 제곱하면 실제로 네 배가 된다. 상수 0을 차수 계산에 넣지 않고 먼저 처리해야 한다. 이차항의 계수가 0인 경우를 이차식이라는 가정에서 다시 허용하지 않는다.
높이와 기울기를 각각 읽는 두 칸에 이번에는 연결 식을 준다. 한 점에서만 맞는 예시가 아니라 모든 입력의 항등식을 풀었는지 최종 검산한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.