원래 급수의 합을 구한 뒤, 양수 항 두 개와 음수 항 한 개를 차례로 적는 새 순서 1+1/2−1+1/3+1/4−1/2+⋯의 합을 구하라. 각 항을 한 번씩만 썼다는 이유로 합이 같다고 할 수 있는가?
원래2n항의 부분합은0이고2n−1항의 부분합은1/n이므로 원래 합은0이다. 새 순서의3n항 부분합은
1/x가 감소하므로 이 합은 ∫_{n+1}^{2n+1}1/x dx 이상이고 ∫_n^{2n}1/x dx 이하이다. 두 적분은 각각 ln{(2n+1)/(n+1)}과 ln2이며 모두 ln2로 간다. 다른 두 번호의 부분합은 추가된 양수 항 최대 두 개만큼 달라지고 그 차는0으로 간다. 따라서 새 합은 ln2다.
유한한 덧셈의 순서를 바꾸는 법칙을 무한한 합에 곧바로 적용할 수 없다. 이 두 순서는 매 단계 양수와 음수를 포함한 개수가 다르며 그 부분합의 극한도 다르다. 전체 항의 목록뿐 아니라 어떤 부분합을 극한으로 보았는지 적어야 한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.