A=(1,1)에서 B=(2,3)으로 간다. x축의 음수가 아닌 부분에서 P=(p,0), y축의 음수가 아닌 부분에서 Q=(0,q)를 들른다. p,q≥0이고 P=Q=O도 허용한다. A→P→Q→B와 A→Q→P→B의 최단거리를 비교하라.
첫 순서는 P=(1/4,0), Q=(0,1/3)일 때 길이5다. A를 x축에 대칭시킨(1,−1), B를 y축에 대칭시킨(−2,3)를 잇는 선분이 펼친 경로가 된다. 해당 선분은 두 축을 요구한 순서로 지난다.
반대 순서는 두 축의 대칭점을 이어 얻은 거리5를 그대로 답으로 쓰면 틀린다. 펼친 선분의 축 교점이 허용한 음수가 아닌 부분에 있지 않기 때문이다.
반대 순서에서 P를 고정하면 A→Q→P의 최솟값은√((p+1)²+1)이다. Q의 y좌표는 p/(p+1)로 음수가 아니다. 전체 길이는 다음 이상이다.
괄호는 양수이므로 최솟값은 p=0, q=0에서√2+√13>5다.
위 부등식은 각 벡터를 p=0일 때의 단위 방향벡터와 내적하여 얻는다. 길이는 그 내적 이상이다. O를 두 번 들르는 경우가 허용되기에 실제 최솟값을 얻는다.
교사는 대칭점 연결을 답으로 쓰기 전에 축의 어느 부분을 어떤 순서로 지나는지 검사한다. 대칭으로 계산한 거리가 정확해도 복원한 경로가 조건 밖이면 정답이 아니다. p,q를 모두 양수로 바꾸면 반대 순서는 그 값에 가까워질 뿐 최솟값을 얻지 못한다.
등호를 얻는 점까지 적어야 실제 최솟값이라는 결론이 된다. 이번에는 두 축이 만나는 O를 허용하는지 한 문장이 두 번째 경로의 정답 형식을 바꾼다.
출처·착안: 理系の解像度, 「日常に隠された垂直二等分線」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.