타원 x²/9+y²/4=1 위의 점을 P(θ)=(3cosθ,2sinθ)로 만든다. θ=0°,45°,90°로 같은45도 간격을 넣었으니 이웃한 두 점 사이 거리도 같다는 주장을 검토하라.
각 점을 타원의 식에 대입하면 cos²θ+sin²θ=1로 정확히 타원 위임을 확인할 수 있다.
두 거리의 제곱은 각각
두 값의 차이는5−5√2로0이 아니며 첫 거리가 더 짧다. 각 입력의 간격과 도형 위에서 잰 거리의 간격은 다른 조건이다.
원의 좌표(cosθ,sinθ)에서는 같은 각 간격의 이웃점 거리도 같다. 그러나 x방향을3배, y방향을2배로 바꾼 현재의 좌표식은 방향마다 길이에 미치는 영향이 다르다. 타원점이라는 검사와 같은 간격이라는 검사를 분리해야 한다.
교사는 점을 순서대로 많이 찍어 타원을 나타내는 자료에서 ‘같은 간격’이 각도 입력을 뜻하는지 실제 점 사이 거리를 뜻하는지 명확히 적는다. 둘은 현재 예에서 같지 않다.
세 점의 좌표가 모두 정확한데도 거리 결론은 실패한다. 좌표 생성 규칙이 어떤 성질을 유지하는지 계산으로 확인한 사례다. 그림에 점이 고르게 배치되어 보인다는 인상만으로 간격의 같음을 판정하지 않는다.
여기서 계산한 것은 두 점을 잇는 선분의 길이이며 타원을 따라 간 길이가 아니다. 같은 각 간격이 같은 선분 길이라는 주장만 검토했다. 점을 더 찍어도 현재 세 점의 두 거리는 바뀌지 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Paper Folding an Ellipse」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.