쌍곡선 x²−y²=1에서 q=x+y라고 둔다. q는 어떤 실수를 취할 수 있는지, q>0으로 제한하면 자취 전체를 나타내는지 판단하라.
q=0은 불가능하다. 나머지 q≠0에 대해서는
이 좌표를 대입하면 x²−y²=1이고 x+y=q이므로 두 방향으로 조건을 확인할 수 있다.
q>0이면 q+1/q≥2라 x≥1인 오른쪽 부분만 나타낸다. q<0이면 q를−s(s>0)로 쓰면 x=−(s+1/s)/2≤−1이라 왼쪽 부분만 나타낸다. 따라서 양수 제한으로는 쌍곡선 전체를 나타내지 않는다.
q=1에서는(1,0), q=−1에서는(−1,0)을 얻는다. 꼭짓점이 빠지는 것은 아니고 q의 부호가 두 부분을 나눈다. 입력의 범위를 실제 좌표와 대조할 수 있다.
교사는 식에 q와1/q가 있다는 이유만으로 q>0을 넣지 않는다. 로그를 쓰거나 양수라는 별도 조건이 없는 현재의 나눗셈식은 음의 q도 허용한다. 분모0 제외와 양수 제한은 다른 조건이다.
역으로 쌍곡선의 임의 점에서 q=x+y를 만들면 q≠0이고 위 두 좌표식을 되찾는다. 이 검사가 있어야 단지 몇 점이 찍히는 식을 넘어 전체 자취를 나타낸다고 말할 수 있다. 전체를 요구하는 문항에서는 q의 양수·음수 두 범위를 함께 적는다.
q가 양수라고 y도 양수인 것은 아니다. q=2에서는(5/4,3/4), q=1/2에서는(5/4,−3/4)다. 양수 입력은 오른쪽 부분을 정하지만 그 안의 위·아래는 둘 다 포함한다.
입력값의 부호를 반대로 바꾸면 x와 y도 함께 부호가 바뀌어 원점에 대하여 대칭인 점을 얻는다. 이 대응으로 양수와 음수 두 입력 범위를 모두 써야 전체 자취를 나타낸다는 결론을 다시 검산할 수 있다.
출처·착안: Dr Nic, 「Why decimals are difficult」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.