원 x²+y²=9와 (x−5)²+y²=16의 교점 P에서 두 접선을 긋는다. 두 접선이 수직인지 확인하라. 중심을 O=(0,0), C=(5,0)이라 한다.
따라서 두 반지름 OP,CP가 수직이다. 각 접선은 자신의 반지름과 수직이므로 두 접선도 서로 수직이다. 위·아래 교점에서 모두 같다.
교점은 두 식을 빼서10x=18을 얻고 x²+y²=9에 대입하여 찾는다. 두 교점의 y좌표 부호는 다르지만 반지름의 내적에는 y²이 들어가 같은 결과가 된다.
일반적으로 반지름 r₁,r₂, 중심 거리 d인 두 원의 공통점에서
따라서 실제 공통점이 있고 d²=r₁²+r₂²이면 두 접선은 수직이다. 현재는5²=3²+4²이다.
여기서 비교할 각은 교점 P에 모인 두 반지름의 각이다. 원점에서 중심 C를 향한 방향과 P를 향한 방향의 각을 계산하면 다른 각이다. 벡터를 적을 때 시작점과 끝점을 확인하면 내적의 대상을 정확히 정할 수 있다.
교사는 중심 거리와 반지름만 보고 교점 존재를 먼저 생략하지 않는다. 현재는 |3−4|<5<3+4라 두 교점이 존재한다. 같은 식의 계산도 실제 교점이라는 전제가 있어야 접선의 각으로 읽을 수 있다.
접선의 방향벡터를 직접 만들 수도 있다. OP=(x,y)에는(−y,x), CP=(x−5,y)에는(−y,x−5)가 수직이다. 두 방향의 내적도 y²+x(x−5)=0으로 같은 판정을 준다. 기하 설명과 성분 계산을 서로 검산할 수 있다.
두 방향벡터가 영벡터가 아닌지도 확인한다. 반지름3과4가 양수이므로 접점의 방향이 없어지는 경우는 없다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.