정육면체의 두 공간대각선은 같은 중점에서 만난다. 그중 두 직선의 방향벡터가 다음과 같을 때 작은 각 θ를 구하라. 같은 중점을 지나는 대각선이므로 수직이라는 설명이 맞는가?
두 크기는 모두√3이지만 내적은−1+1+1=1이다. 따라서 수직이 아니다.
직선의 방향을 반대로 택하면 내적의 부호가 바뀌고 벡터 사이의 각은180°−θ가 된다. 여기서는 두 직선의 작은 각을 물었으므로 양수인 코사인1/3에 해당하는 예각을 답한다.
정육면체의 면에 있는 정사각형 대각선과 공간대각선을 구별해야 한다. 한 면의 대각선 방향 (1,1,0),(−1,1,0)은 내적0이다. 공간에서는 두 방향에 같은 z성분1이 추가되면서 내적에1이 더해진다. 평면 도형에서 맞았던 수직 판단을 그대로 적용할 수 없다.
교사는 중점 계산과 각 계산을 각각 남긴다. 대각선이 서로 이등분한다는 사실은 정확하지만 그것만으로 내적이0이라는 결론은 나오지 않는다. 세 성분을 모두 썼는지 확인하면 공간 그림에서 납작해 보인 두 선의 실제 각을 검증할 수 있다.
수업에서는 정답을 소수 각도로 바꾸는 것보다 코사인 값을 정확히 쓰는 데 집중할 수 있다. 좌표의 단위가 같고 정육면체라는 전제가 각 성분1을 사용할 수 있게 한다. 직육면체로 바꾸면 같은 계산의 내적과 크기도 달라진다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Harlequin Cube」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.