z의 제곱과 켤레복소수가 섞인 방정식은 실수부부터 나눈다

z^2+\overline z=0

복소수 z를 모두 구하라. 허수부가 0인 경우를 먼저 지우지 않는다.

z=a+bi, a,b는 실수라고 놓으면

z^2+\overline z=(a^2-b^2+a)+b(2a-1)i.

실수부와 허수부가 각각 0이어야 한다.

a^2-b^2+a=0,\qquad b(2a-1)=0.

경우	남은 계산	z
b=0	a(a+1)=0	0, −1
b≠0	a=1/2, b²=3/4	1/2±(√3/2)i

서로 다른 네 값이 전부다. 마지막 두 값은 z²=−1/2±(√3/2)i이고, 켤레복소수를 더하면 0이다. 0과 −1도 원래의 식을 만족한다.

“b로 나누어 a=1/2”라는 풀이에는 나누기 전에 b=0을 처리했는지 확인한다. 실수부의 방정식을 잘 풀어도 허수부에서 버린 두 해는 복원되지 않는다.