큰 입력에서 기울기가0에 가까워지므로 함수값도 어떤 유한한 높이에 가까워진다는 설명을 검토한다.
lnx는 x가 커질 때 한없이 커진다. 기울기1/x가 작아진다는 사실은 증가하는 속도가 느려진다는 뜻이며, 늘어난 값의 총량이 유한하다는 뜻은 아니다.
적분으로 확인하면1부터X까지 기울기를 더한 값은∫_1^X1/t dt=lnX다. X=e^N이면 이 누적값은N이어서 원하는 크기보다 크게 만들 수 있다.
비교할 함수g(x)=1−e^(−x)도 도함수가0으로 간다. 그러나 이 함수는1에 가까워진다. 같은 도함수 극한0에서 함수값의 극한은 한없이 커질 수도, 유한할 수도 있다.
그래프가 평평해 보인다는 말과 수평선에 가까워진다는 말은 다르다. 두 함수의 도함수 극한을 맞게 남긴 뒤, 누적 변화량을 각각 계산하게 한다. 순간 변화가 작다는 조건을 전체 변화가 작다는 조건으로 바꾸지 않는다.
출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.