구간 평균이 증가해도 함수 자체가 계속 증가하는 것은 아니다

f(t)=3t-t^2\quad(0\le t\le2),\qquad A(x)=\frac1x\int_0^x f(t)\,dt\quad(0<x\le2).

A는 시작 구간[0,x]의 함수값의 평균이다. A가 계속 증가하면 f도 같은 구간에서 계속 증가한다는 주장을 검토한다.

직접 적분하면 A(x)=3x/2−x²/3이며 A′(x)=3/2−2x/3이다. 0<x<2에서는 A′(x)>1/6>0이므로 평균은 계속 증가한다.

반면 f′(t)=3−2t이므로 f는3/2부터2까지 감소한다. 따라서 주장은 거짓이다. 평균이 커지고 있어도 마지막에 추가되는 값 자체는 작아질 수 있다.

두 정보가 함께 성립하는 이유는 다음 차에서 보인다.

f(x)-A(x)=\frac{3x}2-\frac{2x^2}3 =xA'(x)>0.

마지막 값은 이전 구간 평균보다 여전히 크다. 마지막 값이 앞 시각보다 줄었다는 비교와, 이전 모든 값의 평균보다 크다는 비교는 다른 대상이다.

그래프에는 f와A를 함께 그리되 각 도함수의 부호를 다른 행에 적는다. 평균의 변화 방향을 원래 함수의 변화 방향으로 그대로 옮긴 답에는 무엇과 무엇을 비교했는지 식으로 설명하도록 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.