함수값이 작아지지 않는다는 조건만으로 역함수를 만들 수 없다

f(x)=\begin{cases}0&(x\le0),\\x&(x>0)\end{cases}\qquad(x\in\mathbb R)

입력이 커져도 함수값은 작아지지 않는다. 공역을 치역 [0,∞)로 정하면 역함수가 존재할까?

치역과 공역이 같아도

f(-1)=f(0)=0

이므로 일대일함수가 아니다. 역함수는 존재하지 않는다. 함수값 0만 보고 원래 입력을 하나로 결정할 수 없다.

구간	함수값의 변화
x≤0	모두 0
x>0	입력과 같다

“u<v이면 f(u)≤f(v)”는 같은 함수값을 허용한다. 일대일 조건에는 u≠v일 때 f(u)≠f(v)가 필요하므로 두 문장을 구별한다.

정의역을 [0,∞)로 제한하면 f(x)=x인 항등함수이며 역함수도 자기 자신이다. 공역을 치역으로 맞추는 것과 함수값이 겹치는 입력을 제한하는 것은 서로 다른 수정이다. 어떤 조건을 바꾸어 역함수를 얻었는지 답안에 남긴다.