바닥 넓이와 네 옆면의 재료 넓이가 따로 고정된 직육면체 상자를 만든다. 설치 통로 때문에 폭 x는 2부터 4까지여야 한다. 부피가 가장 커지는 x,y,h를 구하라. 바닥을 정사각형으로 만들면 가장 좋다는 풀이가 실제 조건을 만족하는가?
바닥 조건에서 y=24/x이고 옆면 조건에서 h=30/(x+y)이다. 따라서 부피는 24h=720/(x+24/x)이다. 분모의 도함수는 1−24/x²이고, 2≤x≤4에서는 항상 음수다. 분모가 계속 감소하므로 부피는 계속 증가해 오른쪽 끝 x=4에서 최대다. 그때 y=6,h=3이며 부피는 72다. 폭 제한을 지우면 x=y=√24인 정사각형이 가능하지만 √24>4여서 주어진 통로에는 들어가지 않는다. 식의 최적값을 찾은 다음 허용 범위를 나중에 붙이는 방식으로는 이 경계 해를 놓칠 수 있다.
교사 질문: 설치 폭의 상한을 늘릴 때 최적해가 경계에서 내부로 바뀌는 첫 상한을 구하게 하자.
출처·착안: Level 2 Mathematics and Statistics 91262 — Apply calculus methods, 2025. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.