구 밖 한 점에서 그은 접선들의 접점은 어디에 모일까

S:x^2+y^2+z^2=4,\qquad O=(0,0,0),\quad P=(0,0,3).

P에서 구에 그은 모든 접선의 접점T를 구하라. 평면에서처럼 접점이 두 개뿐인지도 확인한다.

접점T=(x,y,z)에서 OT와TP는 수직이다. T가 구 위라는 조건과 함께 쓰면

x^2+y^2+z^2=4,\qquad (x,y,z)\cdot(-x,-y,3-z)=0.

둘째 식은3z−4=0이므로 z=4/3이다. 따라서 접점 전체는

z=\frac43,\qquad x^2+y^2=\frac{20}{9}.

중심(0,0,4/3), 반지름2√5/3인 원이다. 접점은 두 개가 아니라 무수히 많다.

이 원의 모든 점이 접점인지 확인한다

위 두 식을 만족하는 T에서는 OT·TP=0이다. 직선 위 점T+s(P−T)의 원점까지 거리 제곱은4+5s²이다. s=0인 T에서만4가 되므로 이 직선은 구와 T 하나에서 만나 실제 접선이다.

모든 접선의 길이 PT는√(OP²−OT²)=√5로 같다. 그러나 같은 길이가 같은 접점을 뜻하지는 않는다. 위 원을 돌며 서로 다른T를 고를 수 있다.

해설에는 접점이 놓이는 평면만 적고 끝내지 않는다. 구의 식도 동시에 만족해야 하므로 평면 전체가 답이 아니다. 평면과 구의 교선이 접점 전체인지 역검산까지 남기면, 필요조건 하나만으로 자취를 과하게 넓힌 답을 확인할 수 있다. 한 단면 그림의 접점 두 개는 전체 공간 접점의 일부다.

대표 접점으로(2√5/3,0,4/3)를 택해 본다. 구의 식에 넣으면20/9+16/9=4이고 P까지 거리 제곱도5다. y방향으로 돌린(0,2√5/3,4/3)도 같은 조건을 만족하므로 서로 다른 접점의 실제 예가 된다. 원 위 점을 구하는 계산과 접선 위 점을 구하는 계산을 표의 서로 다른 칸에 둔다.

출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.