f는 0에서 미분가능하다. g의 연속성이나 미분가능성은 주어지지 않았다. 그래도 h가 0에서 미분가능한지 판단한다.
h(0)=0이다. 0이 아닌 t에 대해 미분계수의 정의에 나오는 분수는 다음과 같다.
f(0)=0이고 f′(0)=0이므로 오른쪽은 0으로 수렴한다. 따라서 h′(0)=0이다. 두 함수가 모두 미분가능한 경우의 공식을 적용한 풀이가 아니라, 결과 함수의 분수를 직접 확인한 풀이이다.
두 조건 중 f′(0)=0을 빼면 결론이 유지될까? f(x)=x로 두고, g(x)를 양수 입력에서1, 음수 입력에서−1, 0에서0으로 정하면 |g(x)|≤3은 만족한다. 그러나 h(x)=|x|가 되어 0에서 미분불가능하다.
공식을 쓸 조건이 없다는 말과 결과 함수의 미분계수가 없다는 말은 다르다. 답안에서 필요한 것은 g′(0)을 억지로 구하는 과정이 아니라, 곱 전체의 분수가 0으로 가는 근거이다.
출처·착안: Derivative Practice – Graphs. 문항과 풀이는 새로 작성했다.