매 항의 엄격한 부등호는 극한에서 등호가 될 수 있다

a_n<b_n\quad\text{모든 양의 정수 }n,\qquad a_n\to A,\ b_n\to B.

반드시 A<B인지 판정하라. 반대로 A<B만 알면 모든 n에서 a_n<b_n인지도 검토한다.

첫 조건에서는 A≤B가 보장된다. 만약 A>B라면 두 극한값 사이의 간격보다 충분히 작은 오차를 골라 뒤의 a_n은 b_n보다 크게 만들 수 있어 원래 부등식과 모순이다. 하지만 등호는 가능하다. a_n=1−1/n, b_n=1+1/n은 항상 엄격한 부등호인데 두 극한은1이다.

A<B이면 간격의3분의1만큼 오차를 고른다. 충분히 뒤에서는 a_n<A+(B−A)/3<B−(B−A)/3<b_n이 되어 a_n<b_n이다. 처음 유한한 항에는 이 결론이 적용되지 않는다.

예를 들어 a_1=100, n≥2에서 a_n=0, 모든 b_n=1이면 A=0<B=1이지만 첫 부등식은 거짓이다.

\text{매 항의 }<\Rightarrow A\le B,\qquad A<B\Rightarrow\text{충분히 뒤의 항에서 }<.

채점에서는 부등호와 적용되는 번호 범위를 함께 본다. 극한을 취한 줄에서 엄격함을 그대로 남기는 오류와, 뒤 항의 결론을 처음 항까지 확대하는 오류는 다르다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.