서로 구별되는 네 카드의 값은 0,0,10,10이다. 서로 다른 두 카드의 쌍 여섯 개 중 하나를 같은 확률로 고른다. 표본평균을 M이라 하자.
표본의 크기가 2이므로 V(M)=25/2라는 계산을 검토하라.
두 0을 고르는 쌍은 한 개, 두 10을 고르는 쌍도 한 개다. 0과 10을 고르는 쌍은 네 개다. 따라서
평균에서의 제곱 차를 합하면 V(M)=(25+0+25)/6=25/3이다. 25/2와 다르다.
두 값이 독립이라는 전제
첫 카드가 0이면 다음 카드가 0일 확률은 1/3이고, 첫 카드가 10이면 다음 카드가 0일 확률은 2/3이다. 돌려놓지 않는 추출에서 두 값은 독립이 아니다. 표본의 크기 2만으로 독립 표본평균의 분산 공식을 적용할 수 없다.
카드를 돌려놓고 매번 독립적으로 뽑으면 평균 0,5,10의 확률은 1/4,1/2,1/4가 된다. 그때는 분산이 25/2로 바뀐다. 모평균과 모분산은 그대로지만 표본평균의 분포가 바뀐 것이다.
표에 카드 이름과 값을 따로 적게 한다. 숫자 0이 두 번 있다는 이유로 쌍을 하나로 합쳐 0·5·10을 각각 1/3이라고 계산하지 않는다. 같은 값의 평균을 만드는 카드 쌍의 수를 모두 더해야 한다.
수업 해설에서는 먼저 여섯 표본을 직접 확인한 뒤 공식을 사용할 조건을 돌아본다. 결과가 다르다는 이유로 모분산 25를 바꾸는 대신 실제 추출 방법과 독립성의 전제를 확인한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Teaching Confidence Intervals」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.