정규 모집단의 모표준편차는10이다. 독립 표본100개의 평균이50이고, 다른 독립 표본400개의 평균도50이다. 앞 자료에는95%, 뒤 자료에는99% 신뢰구간을 쓴다.
“99%는95%보다 넓다”라는 말이 이 두 구간에도 맞는가?
표본크기100일 때 표준편차는10/10=1이라 구간 길이의 절반은1.96이다. 표본크기400일 때는10/20=0.5라99% 구간의 그 값은2.58×0.5=1.29다. 이 조건에서는99% 구간이 더 좁다.
두 조건을 동시에 바꾼 비교
같은 자료·같은 표본크기라면99%가95%보다 넓다는 설명은 맞다. 여기서는 표본크기도 네 배가 되어 표본평균의 표준편차가 절반으로 줄었다. 더 큰 신뢰도 계수와 더 작은 표준편차를 함께 곱해야 한다.
길이의 비는1.29/1.96=129/196이다. 두 평균을 같게 주었으므로 좁은99% 구간은 넓은95% 구간 안에 들어간다. 하지만 서로 다른 표본에서 평균이 다르게 나오면 이런 포함 관계까지 보장하지는 않는다.
수업에서는 비교표에 신뢰도와 표본크기를 각각 별도 열로 둔다. 학생이 한 조건만 읽었는지 두 조건을 함께 읽었는지 계산 앞의 식에서 확인할 수 있다. 신뢰도가 높은 쪽이 이번에 반드시 참값을 포함한다는 결론도 두 구간의 폭 비교만으로 얻을 수 없다. 자료의 조건과 절차의 신뢰도를 구별해 문장으로 마무리하게 한다.
조건을 바꾼 두 열을 끝까지 남긴다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.