두 함수의 합성 순서가 같아지는 a,b의 조건

f(x)=2x+1,\qquad g(x)=ax+b,\qquad a,b\in\mathbb R

모든 실수 x에서 f(g(x))=g(f(x))일 a,b를 구하라. a=0도 허용한다.

f(g(x))=2ax+2b+1,\qquad g(f(x))=2ax+a+b.

x항은 이미 같으므로 상수항을 비교하면

\boxed{a=b+1}.

이 조건을 다시 두 식에 넣으면 모든 x에서 같다.

예	두 합성
a=0, b=−1	모두 −1
a=1, b=0	모두 2x+1

상수함수와 항등함수도 답에 포함된다. “일차함수”라고 처음부터 제한하면 a=0인 경우를 빠뜨리므로, 문항에는 ax+b꼴과 a=0 허용 여부를 정확히 적는다.

이번 식은 x항이 자동으로 같아 x=0 한 곳의 비교로 충분하다. 이 근거 없이 다른 함수에도 적용할 수는 없다. x²와 x는 0에서 같아도 모든 입력에서 같지 않다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.