3, 6, 12 다음은 24일까: 주어진 항과 규칙을 나누어 적는다

a_1=3,\quad a_2=6,\quad a_3=12

이 정보만으로 $a_4=24$ 라고 정할 수 있는가? 다음 두 일반항을 비교하라. $n=1,2,\ldots$ 이다.

\begin{aligned} \text{A }&a_n=3\cdot2^{n-1}\\ \text{B }&a_n=3\cdot2^{n-1}\\ &\qquad +(n-1)(n-2)(n-3) \end{aligned}

B에서 더한 부분은 $n=1,2,3$ 일 때 0이다. 네 번째에는 $3\cdot2\cdot1=6$ 이 더해져 30이 된다.

하나의 정답을 요구하려면

학생의 24는 두 배 규칙을 계속 적용한 값이다. 다만 앞의 세 항만으로 그 규칙이 계속 성립한다고 단정할 수는 없다.

“등비수열이다”라는 조건을 더하면 공비가 2로 정해져 $a_4=24$ 다. 문항을 공유할 때는 앞의 항과 계속 적용할 규칙을 함께 적는다.

B를 제시한 뒤에는 “24가 틀렸다”보다 “24로 정하려면 어떤 조건이 더 필요한가”를 묻는다. 규칙을 예상하는 질문과 주어진 규칙으로 항을 구하는 질문을 구별할 수 있다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.