X의 가능한 값은0,1,2뿐이고 평균1, 분산1/2이다. 세 값의 확률을 모두 구하라.
분산 식에서 E(X²)=1/2+1²=3/2이므로
두 평균 식을 빼면2p₂=1/2여서 p₂=1/4, p₁=1/2, p₀=1/4다. 모두 음수가 아니고 합1이므로 실제 분포다.
‘평균·분산만으로 분포를 정할 수 없다’라는 일반 설명을 이 문항에 그대로 적용하면 주어진 가능한 값 조건을 빠뜨린다. 세 확률을 정하는 세 관계가 있고 이번에는 유일하게 풀린다.
가능한 값을0,1,2,3으로 늘리면 다른 분포도 생긴다. 확률을 각각5/24,15/24,3/24,1/24로 두면 평균은(15+6+3)/24=1이고 제곱의 평균은(15+12+9)/24=3/2라 분산도1/2다. 모든 네 확률이 양수다.
앞에서 구한 세 값 분포와 같은 평균·분산이지만 가능한 값의 조건은 달라졌다. 원래 문항의 유일성을 반박하는 예가 아니라 그 조건이 필요한 이유를 보여 주는 비교다.
교사는 일반 결론과 현재 주어진 조건을 함께 읽는지 확인한다. 정보 두 개라고만 세면 전체 확률 합1과 가능한 값의 목록을 놓칠 수 있다. 반대로 이번의 성공을 모든 분포에 일반화하지도 않는다.
확률을 구한 뒤 각 값의 범위와 합을 검산한다. 연립식의 해가 있다는 사실만으로 확률분포가 되는 것은 아니다. 현재는1/4,1/2,1/4가 모든 확률 조건을 실제로 만족한다.
확률표를 완성한 뒤 평균1과 분산1/2를 직접 대입하면 연립식의 선택과 계산을 한 번 더 확인할 수 있다.
출처·착안: Mark Chubb, 「Central Tendencies Puzzles」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.