P에서의 접선에 F를 대칭시킨 점 D를 구하라. P를 지나는 다른 직선 y=2에도 같은 결과가 생기는지 비교하라.
포물선의 접선 공식으로 2y=2(x+1), 즉 ℓ:x−y+1=0이다. D=(−1,2)로 두면 FD의 중점 (0,1)은 ℓ 위에 있고 FD의 방향 (−2,2)은 ℓ에 수직이다. 따라서 D가 대칭점이며 준선 x=−1 위에 있다.
직선 y=2에 대한 대칭점 (1,4)은 준선 위에 없다. 두 직선이 모두 P를 지난다는 사실만으로 포물선의 접선 조건이 같다고 할 수 없다.
교사는 먼저 P가 포물선 위에 있는지 대입하고 접선식을 구하게 한다. 이어 대칭점의 중점과 수직 방향을 따로 확인한다. 대칭점이 준선에 있다는 관찰만 적고 어떤 직선에 대칭시켰는지 생략하지 않는다.
ℓ는 F와 D까지의 거리가 같은 점들의 직선이다. P에서 PF=2,PD=2이며 D는 준선에서 P에 가장 가까운 점이다. 초점 거리와 준선 거리의 동일함이 접기 과정의 한 직선과 연결된다.
P를 지나는 수평 직선을 그려 모양만 보고 접선이라고 고른 답은 대입으로도 확인할 수 있다. y=2를 포물선에 넣으면 x=1이라는 교점은 얻지만 이 사실만으로 접선이라고 정할 수는 없다. 실제 접선 공식과 방향 비교가 필요하다.
그림에는 접선과 준선을 다른 이름으로 붙인다. 두 선을 같은 것으로 보는 답이나 반사된 점을 곡선 위에 두는 답도 검토할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.