화면의 가로세로 배율을 바꾸면 포물선 계수도 달라 보인다

같은 그래프를 가로는 2배, 세로는 3배인 화면 좌표 X,Y로 표시한다. 화면 좌표의 방정식과 꼭짓점을 구하라. 화면에서 읽은 (2,−6)을 원래 수학 좌표의 꼭짓점으로 적어도 되는가?

새 좌표를 정했으므로 원래 식에 x=X/2, y=Y/3을 넣는다. Y/3=(X/2−1)²−2이고 정리하면 Y=(3/4)(X−2)²−6이다. 원래 a=1인 포물선이 화면 식에서는 a=3/4로 보인다. 이것은 원래 함수가 바뀐 것이 아니라 좌표 단위를 달리 쓴 결과다. 꼭짓점도 같은 대응에서 (1,−2)가 (2,−6)으로 표시된다. 두 화면의 휘어진 정도를 육안으로 비교하기 전에 축 한 눈금의 실제 크기를 확인해야 한다. 기울기나 거리도 배율에 영향을 받으므로 캡처 이미지의 모양만으로 수학적 값을 단정하지 않는다.

교사 질문: 가로와 세로를 모두 같은 배율로 확대하는 경우에도 화면 계수 a가 유지되는지 따져 보게 하자.

출처·착안: Quadratic Functions (Graph & Equation Anatomy). 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.