정육각형의 대각선 교점은 6C4=15개일까

정육각형의 모든 대각선을 그린다. 꼭짓점은 세지 않고 내부의 서로 다른 교점 수를 구하라. “네 꼭짓점을 고르면 교점 하나이므로6C4=15”라는 답을 검토하라.

네 꼭짓점을 고르면 그 안의 교차하는 대각선 쌍이 하나 정해진다. 이 방법으로 세는15는 서로 다른 점의 수가 아니라 교차하는 대각선 쌍의 수다.

서로 마주 보는 꼭짓점을 잇는 세 대각선은 중심에서 모두 만난다. 이 세 대각선 중 둘을 고른3쌍이 같은 중심 하나를 센다. 나머지12쌍은 서로 다른12점에서 만나므로

중심에서 생긴 중복을 한 번만 빼는 것이 아니다. 세 번 센 점을 한 번으로 고쳐야 하므로2를 뺀다. 한 점에서 몇 쌍이 만나는지 확인하지 않으면 보정 수를 정할 수 없다.

다른 교점의 중복이 없는지는 그림의 인상으로만 정하지 않는다. 중심이 원점이고 한 꼭짓점이 (2,0)인 좌표를 잡으면, 중심 밖 교점은 원점까지 거리1인 여섯 점과2/√3인 여섯 점이다. 각 여섯 점은60도씩 회전한 위치이고 두 거리가 달라 서로 겹치지 않는다.

교사는 조합식을 쓰기 전에 한 번 선택한 네 꼭짓점이 무엇을 정하는지 문장으로 적게 한다. 같은 위치에 점을 찍는 다른 선택이 있는지 대조하면 세는 대상이 분명해진다.

대각선 쌍의 수를 묻는 문항이라면15가 맞다. 서로 다른 교점 수를 묻는 문항이라면13이다. 문항의 명사를 바꾸면서 같은 조합식을 정답으로 남기지 않는다. 변과 만나는 끝점은 처음 조건에 따라 끝까지 제외한다.

출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.