P를 x³−1로 나눈 나머지를 구하라. x³=1을 이용한 뒤 1+x+x²=0이라고 지워 나머지를 0으로 쓴 풀이의 문제를 찾는다.
x³을 1로 바꾸면 각 지수의 3으로 나눈 나머지만 남는다. 100은 1, 101은 2, 102는 0이므로
이 식은 차수가 3보다 작아 나머지 조건에 맞는다. 그러나 x³=1을 만족하는 모든 수에서 1+x+x²가 0인 것은 아니다. x=1에서는 3이다. P(1)=3과도 일치하므로 나머지 0이라는 주장을 바로 반박한다.
P=x¹⁰⁰(1+x+x²)이므로 1+x+x²를 인수로 갖는 것은 맞다. 하지만 x³−1=(x−1)(1+x+x²)이므로 x−1까지 인수여야 나누어 떨어진다. 그 추가 인수는 P(1)=3 때문에 없다.
채점에서는 큰 지수를 줄인 계산을 인정하고 마지막 한 줄만 고친다. 일부 근에서 0인 것과 나누는 다항식 전체를 인수로 갖는 것은 다른 조건이다.
출처·착안: Dividing Polynomials Using the Box Method Puzzles. 문항과 풀이는 새로 작성했다.