감소함수와 역함수의 적분은 합보다 차를 비교한다

f(0)=1,\quad f(1)=0,\quad f'(x)<0\ (0<x<1),\qquad g=f^{-1}.

f와f′는[0,1]에서 연속이다. 원래 함수와 역함수의 적분을 더하면 항상1이라는 설명을 검토한다. 이번 f는 엄밀히 감소하므로 역함수g도[0,1]에서 정의된다.

역함수의 적분에 y=f(x)를 넣는다. y가0에서1로 갈 때 x는1에서0으로 가므로 다음과 같다.

\int_0^1g(y)\,dy=\int_1^0x f'(x)\,dx =-[xf(x)]_0^1+\int_0^1f(x)\,dx =\int_0^1f(x)\,dx.

이 경우 두 적분은 같다. 합이1로 정해지는 것은 아니다. f(x)=1−x²이면 g(y)=√(1−y)이고 두 적분은 각각2/3이어서 합은4/3이다.

증가함수의 끝값0,1을 감소함수의 끝값1,0으로 바꾸면 치환한 구간의 방향도 바뀐다. 같은 역함수라는 이름만 보고 이전 넓이 합 공식을 옮기지 않는다. 원래 끝값과 치환 뒤 끝값을 각각 기록하면 부호가 달라지는 이유가 보인다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.