위치벡터 두 개의 내적을 A에서의 각으로 읽어도 될까

A=(1,0,0),\quad B=(1,1,0),\quad C=(1,0,1).

OB·OC=1이므로 ∠BAC의 코사인이1/2이라는 답을 검토하라. O는 원점이고 A와 다른 점이다.

OB=(1,1,0), OC=(1,0,1)의 크기는 모두√2다. 따라서 내적1에서 얻는1/2는 ∠BOC의 코사인이다. 문제의 각은 A에서 시작하는 두 변으로 구한다.

\overrightarrow{AB}=(0,1,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,0,1),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0.

두 벡터가 영벡터가 아니므로 ∠BAC=90°다.

오답의 내적 계산1 자체는 맞다. 어느 각을 설명한 값인지 바꾸어 읽은 문장이 틀렸다. OB와OC의 시작점O를 그림에 표시하면 실제 삼각형의 꼭짓점A와 다름이 드러난다.

원점을 A로 옮겨 새 좌표를 쓰면 B=(0,1,0), C=(0,0,1)이 된다. 이때 새 위치벡터의 내적은 같은 삼각형 각을 설명한다. 원점을 옮긴 것과 실제 도형을 움직인 것은 구별한다.

문항 준비에서는 “벡터 두 개의 각”만 적지 않고 AB와AC처럼 시작점을 분명히 쓴다. OA를 빼는 줄이 생략되어 있는지 해설에서 확인한다. 점B,C의 좌표를 곧바로 내적한 답을 숫자 실수로만 분류하면, 올바른 벡터를 선택하지 못한 이유를 놓친다.

세 변 길이는 AB=AC=1, BC=√2로도 검산할 수 있다. 내적 결과와 피타고라스 관계가 같은 직각을 설명하는지 확인하면 각의 이름을 바꿔 읽은 답을 찾을 수 있다.

내적 결과의 부호만 보고 예각인지 판단하기 전 벡터 이름부터 적는다. 올바른 두 벡터가 아니면 부호가 정확해도 문제의 각을 설명하지 못한다. 해설의 화살표 시작점을 생략하지 않는다.

출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.