네 자료가 모두5다. 평균과 표준편차를 구한 뒤 “평균과 같으므로 (x−평균)/표준편차는 모두0”이라는 답을 검토하라.
평균5와 표준편차0은 정확하다. 그러나 마지막 분수는 정의되지 않는다. 분자가0이라는 사실만으로 분모가0인 나눗셈의 값을0이라고 정할 수 없다.
평균에서 얼마나 떨어졌는지를 표준편차 몇 개의 크기로 나타내려면 표준편차가 양수여야 한다. 이 자료에서는 모든 차이가0이어서 비교 기준인 표준편차도0이 되었다. 원래 자료가 평균과 같다는 설명은 가능하지만 그 분수식을 계산했다는 설명은 불가능하다.
교사는 “평균과 같다”는 학생의 해석을 전부 틀렸다고 지우지 않는다. 맞는 자료 설명과 사용할 수 없는 식을 나누어 기록한다. 값0은 평균과 같은 위치라는 뜻을 갖지만, 그 뜻에서 역으로0/0=0을 만들 수는 없다.
후속으로 자료를5,5,5,7로 바꾸고 제곱차의 합을 자료 수4로 나누면 평균5.5, 표준편차√3/2다. 이제5의 값은−1/√3,7의 값은√3으로 계산된다. 한 값만 다른 자료에서는 기준 크기가 양수가 되어 식을 쓸 수 있다.
문항 준비에서는 계산기를 누르기 전에 표준편차가0인지 확인하게 한다. 같은 자료가 반복된 표나 상수인 확률변수도 이 경계에 해당한다. 나눗셈의 전제를 점검하는 한 줄이 단순한 평균 해석과 공식 적용을 연결한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Notes for Introducing Z-Scores」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.