“AB의 모든 성분이 양수이면 A와 B의 모든 성분도 양수다”를 판정하라. 반대 방향도 따로 확인하라.
곱의 네 성분은 모두 양수지만 A의 1행 2열은 −1이다. 각 결과 성분은 두 곱의 합이므로 한 항이 음수여도 합은 양수가 될 수 있다. 곱의 부호로 두 행렬의 성분 부호를 하나씩 복원할 수 없다.
반대 방향은 참이다. 같은 크기의 정사각행렬 A,B의 모든 성분이 양수라면 AB의 각 성분은 양수인 곱들의 합이다.
두 방향을 별도 문장으로 채점한다. 곱에 0인 성분이 있는 예는 첫 문장의 반례로 맞지 않는다. 학생이 낸 반례에서도 곱의 모든 성분이 실제 양수이고, 두 행렬 중 적어도 하나에 양수가 아닌 성분이 있는지 각각 확인한다.
출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.