정의역이 {−1,1}이고 공역이 {0,1}일 때 f(−1)=0, f(1)=1인 함수는 쉽게 만들 수 있다. 두 화살표를 그리면 끝이다. 이제 정의역을 실수 구간 [−1,1]로 넓히고 공역 {0,1}과 양 끝의 함수값을 유지한다. 여기에 연속이라는 조건까지 붙이면 함수를 만들 수 있을까?
만들 수 없다. [−1,1]에서 연속인 실수값 함수가 양 끝에서 0과 1을 가지면 사잇값 정리에 따라 어떤 c∈(−1,1)에서 f(c)=1/2이어야 한다. 그런데 1/2는 주어진 공역 {0,1}에 없으므로 모순이다.
연속 조건을 지우면 예를 만들 수 있다. x<0에서는 f(x)=0, x≥0에서는 f(x)=1로 두면 두 출력만 쓰고 양 끝 조건도 만족한다. 다만 x=0에서 왼쪽 극한 0과 함수값 1이 달라 연속이 아니다. 출력집합을 [0,1]로 넓히면 f(x)=(x+1)/2가 연속 조건까지 만족한다.
교사 질문은 ‘입력이 많아지면 함수 만들기가 항상 쉬워지는가’다. 입력이 늘어난 것과, 그 입력들이 하나의 구간을 이루며 연속성을 요구한 것은 함께 읽어야 한다. 화살표 그림에서 가능했던 선택을 실수 구간의 그래프로 옮길 때 어떤 새 조건이 생기는지 확인하는 활동이다.
착안한 공개 원문: Build a Function Activity. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.