행렬의 곱이 영행렬이어도 두 행렬은 남는다

A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.

$AB=O$ 이면 $A=O$ 또는 $B=O$ 라는 주장을 검토하자. $O$ 는 2행 2열 영행렬이다.

AB=\begin{pmatrix}1-1&-1+1\\1-1&-1+1\end{pmatrix}=O.

두 행렬에는 성분 1이 남으므로 둘 다 영행렬이 아니다. 곱의 각 성분에서 더한 두 항이 상쇄된다.

반대 방향, 즉 $A=O$ 또는 $B=O$ 이면 $AB=O$ 라는 명제는 참이다.

이번 $A$ 를 유지하며 $B$ 를 새로 선택할 때, 모든 성분을 0 이상으로 제한하면 결론은 달라진다. $AB=O$ 는 각 열의 두 성분 합이 0임을 뜻하므로 두 성분도 각각 0이다. 이때는 $B=O$ 여야 한다. 반례와 추가 조건의 판단을 나누어 묻자.

출처·착안: Grid Method Matrix Multiplication. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.