0이 아닌 복소수 z에 대해 z와 iz의 크기는 같다. 그렇다면 z+iz의 크기는 z의 두 배일까? 여기서는 a+bi의 크기를 √(a²+b²)로 정의한다.
z=a+bi라 놓으면 iz=−b+ai다. 따라서 z+iz=(a−b)+(a+b)i다. 그 크기의 제곱은 (a−b)²+(a+b)²=2(a²+b²)다. 그러므로 |z+iz|=√2|z|이며, z≠0에서는 2|z|와 다르다.
예를 들어 z=1+i이면 iz=−1+i라 합은 2i다. 두 개별 크기는 √2씩이지만 합의 크기는 2다. 복소평면에서 z와 iz의 좌표 벡터 내적은 a(−b)+ba=0이라 서로 수직이다. 두 동일 길이를 같은 방향으로 더한 것이 아니므로 크기를 단순 합할 수 없다.
교사 질문은 ‘두 수의 크기가 같다는 사실이 두 수가 같은 방향이라는 사실도 보장하는가’다. 크기 정의와 계산을 직접 제공한 확장 활동이며, 이를 한국 고교의 필수 공식으로 단정하지 않는다. 출처의 교사도 학습자로 검토하는 관점을 구체적인 추측 확인으로 바꿨다.
착안한 공개 원문: From Math Anxiety to Math Confidence (Part 1): Naming the Elephant in the Room. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.