z축을 따라 잰 2와 평면까지의 최단거리는 다르다

O=(0,0,0),\qquad\alpha:3x+4y+12z=24.

Q=(0,0,2)는 평면 위에 있다. “원점에서 평면까지의 거리는 OQ=2”라는 풀이를 검토하라.

d(O,\alpha)=\frac{24}{\sqrt{3^2+4^2+12^2}}=\frac{24}{13}<2.

Q의 좌표와 OQ의 길이는 맞다. 그러나 z축 방향 (0,0,1)은 법선벡터 (3,4,12)와 평행하지 않아 OQ는 평면에 수직인 선분이 아니다.

수선의 발은 H=(72/169,96/169,288/169)이다. 평면식에 넣으면 24이고 벡터 OH는 법선벡터의 24/169배다. 길이도 24/13으로 맞는다.

계산 오류로 처리하는 대신, 고쳐야 할 문장 하나를 표시하게 한다. “교점을 찾았다”는 사실만으로 “가장 짧은 선분을 찾았다”를 말할 수 없다. 평면을 z=2로 바꾸면 두 방향이 같아 OQ=2가 바로 거리다.

출처·착안: あぶらげ, 「TDで勉強する数学」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.