0과2로만 이루어진 무한 문자열을 모두 나열했다고 가정한다. 새 문자열b의n번째 문자를 목록n번째 문자열의n번째 문자와 다르게 정한다. b가 목록 어디에도 없다는 이유를 설명하라. 실수의 소수 표현 대신 문자열로 묻는 장점도 말하라.
대각선 구성과 전칭 조건
목록k번째 문자열과b를 비교하면k번째 자리에서 반드시 다르다. 이 논리는 어느k에도 적용되므로b는 목록의 어떤 문자열과도 같지 않다. 따라서 모든 문자열을 자연수 순서로 나열했다는 가정이 성립하지 않는다.
0이면2,2이면0으로 바꾸기 때문에 새 문자열도 허용된 문자만 사용한다. 문자열로 문제를 쓰면0.999…와1처럼 같은 실수를 다른 소수 표현으로 쓰는 문제를 따로 해결할 필요가 없다. 실수의 크기 증명으로 넘어갈 때에는 이런 표현의 중복을 점검해야 한다.
첫 네 문자열을 임의로 적고 대각선 네 칸을 바꾸게 한다. 유한 예를 보여 준 뒤 임의의k에 대한 문장을 완성시켜 경험과 증명의 차이를 확인한다.
네 문자열만 보고 만든 네 글자 반례가 무한한 목록 전체 를 반박하는 증명은 아닌 이유는 무엇인가?
착안 원문: How Can Infinity Come in Many Sizes?. 대각선 논법을 실수 표기의 중복 문제가 없는 무한 문자열로 다시 구성했다.