두 쌍곡선의 식을 비교한다.
점근선이 둘 다 y=±x이므로 꼭짓점과 초점도 가로 방향으로 놓인다는 설명을 검토하라. 쌍곡선에서는 꼭짓점과 초점의 방향을 식으로 확인한다.
H₂의 양변을−3으로 나누면 y²/3−x²/3=1이다. 꼭짓점은(0,±√3), 초점은(0,±√6)으로 세로 방향이다. H₁의 꼭짓점(±1,0), 초점(±√2,0)과 다르다.
같은 두 직선과 다른 곡선
H₂도 점근선은 y=±x다. 분모가 같아 가로형·세로형 모두 같은 두 대각선 방향을 가진다. 따라서 두 점근선만으로 곡선의 축 방향이나 크기를 정할 수 없다.
H₁은 x축과 만나고 y축과 만나지 않는다. H₂는 y축과 만나고 x축과 만나지 않는다. 좌표축에0을 대입하는 짧은 검사만으로도 방향 차이를 확인할 수 있다.
x²−y²=c에서 c>0이면 가로 방향, c<0이면 세로 방향이고 크기는 |c|에 따라 달라진다. c=0이면 두 직선 y=±x의 점들이다. 이 경우는 같은 점근선을 갖는 쌍곡선이라고 분류하지 않는다.
교사는 이차항의 부호만 보고 양수인 x²의 방향으로 결론 낸 줄을 점검한다. 표준형 오른쪽이1이 되도록 정리했는지가 먼저다. 말·식·그래프를 맞추는 질문에서는 점근선 그림뿐 아니라 꼭짓점 한 쌍도 남겨 두 곡선이 같은 그림으로 분류되지 않게 한다.
표준형에서 먼저 양수인 제곱항의 변수가 무엇인지 표시한다. 양변 전체에 음수를 곱해 같은 식을 쓴 경우와 오른쪽 상수만 바꾼 경우도 구별해야 한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.