다섯 함수값의 부호 표는 차수가 3인 다항식에 불가능하다

P(-2)>0,\quad P(-1)<0,\quad P(0)>0,\quad P(1)<0,\quad P(2)>0.

차수가3 이하인 실수 다항식 P가 가능한지 판단하고, 가능한 최소 차수를 구하라. 다섯 값이0이 아니므로 근 조건은 없다는 답을 검토한다.

다항식은 연속이다. 사잇값의 정리로 (−2,−1),(−1,0),(0,1),(1,2)의 네 구간에 각각 실근이 있다. 구간이 서로 겹치지 않으므로 네 근은 서로 다르다.

항상0인 다항식은 처음의 엄격한 부호 조건에 맞지 않는다. 다른 다항식에 서로 다른 네 근이 있으면 네 일차식 인수의 곱을 갖기 때문에 차수가 적어도4여야 한다.

\boxed{\text{최소 차수 }4},\qquad P(x)=(x^2-1/4)(x^2-9/4).

이 예는 다섯 입력에서 실제로 +,−,+,−,+의 부호를 준다. 부호 표의 칸 수5를 근 수5로 세지 않는다. 인접한 부호 변화가 만든 서로 겹치지 않는 네 구간을 세고, 최소 차수를 달성하는 식까지 검산한다.