F가 우함수라는 조건을 원래 f의 식으로 나타낸다. F(−t)=F(t)에서 f(−x)=f(x)를 곧바로 쓰는 답을 검토한다.
F(−t)=f(e^(−t))이고 e^(−t)=1/e^t다. x=e^t로 놓으면 모든 양수 x를 나타낼 수 있으므로 조건은 f(1/x)=f(x)다. 반대로 이 관계를 주면 F(−t)=F(t)여서 두 조건은 동치다.
예를 들어 f(x)=x+1/x는 이 관계를 만족한다. F(t)=e^t+e^(−t)는 실제 우함수다. 그러나 f의 정의역에는 음수 입력이 없어 f(−x)라는 식으로 우함수 조건을 쓰지 않는다.
입력 t의 부호를 바꾸는 동작이 지수함수 뒤에서는 양수 입력의 역수를 취하는 동작으로 바뀐다. 그래프를 그릴 때 t축의0은 f의 입력1에 대응한다.
학생에게 t→−t, e^t→e^(−t), x→1/x를 세 단계로 적게 한다. 같은 ‘대칭’이라는 말이라도 어떤 입력 좌표를 사용했는지 밝혀야 원래 함수에 맞는 관계를 얻는다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.