수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

f′=f+1을 만족하는 함수는 후보 검산만으로 유일해지지 않는다

f′=f+1을 만족하는 함수는 후보 검산만으로 유일해지지 않는다

곡선 홈이 맞물리는 목재 퍼즐의 근접 모습

사진: Jpbowen · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

f′(x)=f(x)+1(x∈R),f(0)=0.f'(x)=f(x)+1\quad(x\in\mathbb R),\qquad f(0)=0.

실수 전체에서 미분가능한 ff를 모두 구하자. ex−1e^x-1이 맞는 후보라는 검산만으로 다른 함수가 없다고 할 수는 없다.

H(x)=e−x(f(x)+1),H′(x)=e−x(f′−f−1)=0.H(x)=e^{-x}(f(x)+1),\qquad H'(x)=e^{-x}(f'-f-1)=0.

임의의 닫힌구간에 평균값의 정리를 적용하면 HH는 상수다. H(0)=1H(0)=1이므로 e−x(f(x)+1)=1e^{-x}(f(x)+1)=1, 따라서

f(x)=ex−1(x∈R).\boxed{f(x)=e^x-1\quad(x\in\mathbb R)}.

이 함수는 직접 미분해 f′=f+1f'=f+1과 f(0)=0f(0)=0도 만족한다. 모든 가능한 함수를 제한한 증명과 찾은 후보의 대입 검산을 별도 줄로 적게 하자.

출처·착안: Integration by Parts 2. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.