실수 2행 2열 행렬 A의 거듭제곱에서 모든 성분이0으로 가는가? 반례를 제시하고, 모든 성분의 절댓값이 m 이하일 때 보장되는 m의 경계를 구하라. m≥0이다.
네 성분이 모두3/4인 A는 A²=(3/2)A이고 Aⁿ=(3/2)ⁿ⁻¹A다. 각각의 성분이1보다 작다는 조건에 맞지만 반복 곱은 커진다. 행렬 곱의 한 칸에는 두 항의 합이 들어가기 때문이다.
반대로 m=0이면 A=O이므로 모든 거듭제곱도 영행렬이다. m>0이고 |aᵢⱼ|≤m이면 귀납적으로 Aⁿ의 각 성분 절댓값은 m(2m)ⁿ⁻¹ 이하이다. 다음 곱의 한 칸에 두 항이 있고 각 항에 m이 한 번 더 곱해진다.
m=1/2에서는 네 성분이 모두1/2인 행렬의 제곱이 자기 자신이어서 경계를 포함할 수 없다. 이 조건은 충분조건이다. [[0,2],[0,0]]은 성분2가 있어도 두 번 곱하면0이므로 필요한 조건이라고 채점하지 않는다.
출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.