같은 구간을 두 번 지날 때 절댓값은 두 양을 더한다

f\text{는 }[0,1]\text{에서 연속이고 }f\ge0,\qquad I=\int_{-1}^1 f(t^2)\,2t\,dt,\quad J=\int_{-1}^1 f(t^2)|2t|\,dt.

I,J를 ∫₀¹f(x)dx로 나타내라. 치환 x=t²의 시작값과 끝값이 모두1이므로 두 적분이 모두0이라는 설명을 검토한다.

I에는 x의 변화율2t가 부호 그대로 들어 있다. t가−1에서0으로 움직일 때 x는1에서0으로, t가0에서1로 움직일 때 x는0에서1로 간다. 따라서 I=∫₁⁰f+∫₀¹f=0이다.

J에서는 앞 구간의 음수2t가 절댓값으로 양수가 된다. 두 번 지나간 양을 모두 더하므로

I=0,\qquad J=2\int_0^1f(x)\,dx.

f=1이면 I=0이지만 J=2다. x의 처음과 마지막 값이 같다는 정보는 변화량이0임을 보여 주며 지나간 양이0임을 뜻하지 않는다.

치환에서 변화율의 부호를 없애는 줄은 적분의 뜻도 바꾼다. 학생이 두 식을 같은 끝값으로 계산했다면 t=0에서 나누어 각각의 x 진행 방향을 화살표로 적게 한다. 같은 입력 구간을 두 번 지난 사실과 서로 반대 방향의 부호가 상쇄된 사실을 함께 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.