기록을 조건가 X≤3이고 Y≥4인 경우만 남긴다. 조건나 X+Y=7인 경우만 남긴다. 남긴 기록 안에서도 두 눈이 독립인지 비교하라.
조건가에서는 {1,2,3}×{4,5,6}의9개 기록이 같은 확률이다. 첫째 눈1인 확률1/3, 둘째 눈6인 확률1/3이며 두 조건을 모두 만족할 확률1/9다. 다른 눈 쌍에서도 같은 곱 조건이 맞아 독립이 유지된다.
조건나에서는(1,6),…,(6,1)의6개 기록이 같은 확률이다.
따라서 조건나에서는 독립이 아니다. 첫째 눈을 알면 둘째 눈이 정해진다.
삭제했다고 언제나 같은 결론은 아니다
조건가는 첫째 눈의 범위와 둘째 눈의 범위를 따로 제한한다. 남은 세 행과 세 열 사이의 모든 조합이 존재한다. 조건나는 두 눈의 합을 함께 사용하여 대각선 기록만 남긴다.
두 경우 모두 기록을 삭제했지만 독립 여부가 다르다. “처음 시행이 독립이라 남은 기록도 독립”과 “조건을 붙였으니 언제나 종속”은 모두 맞지 않는다. 남은 표에서 각 눈 쌍의 확률을 다시 확인해야 한다.
수업 표에는 조건을 만족하지 않는 칸을 먼저 지운다. 그다음 남은 기록 수를 분모로 쓰고, 한 행·열의 비율과 교점 칸의 비율을 비교한다. 첫째 경우는 한 쌍만 검사해 끝내지 않고 모든 남은 조합이 같은 구조라는 설명을 남긴다.
출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.